弦切角定理
2.掌握弦切角定理的内容,并能利用它解决有关问题.
1.弦切角
顶点在fun88网上娱乐周上,一边和fun88网上娱乐相交,另一边和fun88网上娱乐相切的角叫做弦切角.
名师点拨弦切角可分为三类:(1)fun88网上娱乐心在角的外部,如图①;(2)fun88网上娱乐心在角的一边上,如图②;(3)fun88网上娱乐心在角的内部,如图③.
【做一做1】 如图,$A B$是$\odot O$的一条弦,$D$是$\odot O$上的任一点(不与$A,B$重合),$EC$与$\odot O$相切于点$B$,则下列为弦切角的是( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } \angle A D B} & {\text { B. } \angle A O B} \\ {\text { C. } \angle A B C} & {\text { D. } \angle B A O}\end{array}$
答案:$C$
2.弦切角定理
文字语言
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半
符号语言
$AB$与$\odot O$相切于点$A,AC$与$\odot O$相交于点$A,C$,则$\angle B A C$的度数的度数的一半
图形语言
作 用
证明角的度数与弧的度数的关系
归纳总结
1.弦切角定理的推论:弦切角等于它所夹弧所对的fun88网上娱乐周角.2.弦切角定理建立了弦切角与弧之间的数量关系,它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.
3.fun88网上娱乐心角、fun88网上娱乐周角、弦切角的比较.
fun88网上娱乐心角
fun88网上娱乐周角
弦切角
定义
顶点在fun88网上娱乐心的角
顶点在fun88网上娱乐上,两边和fun88网上娱乐相交
顶点在fun88网上娱乐上,一边和fun88网上娱乐相交,另一边和fun88网上娱乐相切
图形
角与弧
的关系
$\angle A O B$的度数的度数
$\angle A C B$的度数的度数
$\angle A C B$的度数的度数
【做一做2-1】 如图,$MN$与$\odot O$相切于点$M,Q$和$P$是$\odot O$上两点,$\angle P Q M=70^{\circ}$,则$\angle N M P$等于( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } 20^{\circ}} & {\text { B. } 70^{\circ}} \\ {\mathrm{C.} 110^{\circ}} & {\mathrm{D.160}^{\circ}}\end{array}$
解析:$\because \angle N M P$是弦切角,
$\therefore \angle N M P=\angle P Q M=70^{\circ}$.
答案:$B$
【做一做2-2】 过fun88网上娱乐内接$\triangle A B C$的顶点$A$引$\odot O$的切线交$BC$的延长线于点$D$,若$\angle B=35^{\circ}, \angle A C B=80^{\circ}$,则$\angle D$为 ( )
A. $45^{\circ} \mathrm{B} .50^{\circ} \mathrm{C.55}^{\circ} \mathrm{D} .60^{\circ}$
解析:如图,$\because A D$为$\odot O$的切线,
$\therefore \angle D A C=\angle B=35^{\circ}$
又$\angle A C B=80^{\circ}$,
$\therefore \angle D=\angle A C B-\angle D A C=80^{\circ}-35^{\circ}=45^{\circ}$.
答案:$A$
对弦切角的理解
剖析弦切角的特点:(1)顶点在fun88网上娱乐上;(2)一边与fun88网上娱乐相交;(3)另一边与fun88网上娱乐相切.
弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是弦切角.图①中,缺少“顶点在fun88网上娱乐上”的条件;图②中,缺少“一边和fun88网上娱乐相交”的条件;图③中,缺少“一边和fun88网上娱乐相切”的条件;图④中,缺少“顶点在fun88网上娱乐上”和“另一边和fun88网上娱乐相切”两个条件.
题型一 平行问题
【例1】 如图,$AD$是$\triangle A B C$中$\angle B A C$的平分线,经过点A的$\odot O$与$BC$相切于点$D$,与$AB,AC$分别相交于点$E,F.$求证:$E F / / B C$.
分析连接$DF$,于是$\angle F D C=\angle D A C$,根据AD是$\angle B A C$的平分线,有$\angle B A D=\angle D A C$,而$\angle B A D$与$\angle E F D$对着同一段弧,所以相等,由此建立$\angle E F D$与$\angle F D C$的相等关系,根据内错角相等,可以断定$E F / / B C$.
反思
当已知条件中出现fun88网上娱乐的切线时,借助于弦切角定理,常用角的关系证明两条直线平行:(1)内错角相等,两条直线平行;(2)同位角相等,两条直线平行;(3)同旁内角互补,两条直线平行.证题时可以根据图形与已知条件合理地选择.
题型二 线段成比例问题
【例2】 如图,已知$\triangle A B C$内接于$\odot O, \angle B A C$的平分线交$\odot O$于点$D, C D$的延长线交过点$B$的切线于点$E$.
求证$: \frac{C D^{2}}{B C^{2}}=\frac{D E}{C E}$
分析直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比例式的形式,然后借助相似三角形的性质得出结论.
反思
已知直线与fun88网上娱乐相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定理和fun88网上娱乐周角定理获得角相等,再通过三角形相似得到成比例线段.
题型三 易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切线
【例3】 如图,$\triangle A B C$内接于$\odot O, A D \perp A C, \angle C=32 ; \angle B=110^{\circ}$,求$\angle B A D$.
反思
在利用弦切角定理解决问题时,要考虑所涉及的角是不是弦切角,即弦切角的三个条件缺一不可.
真题
1.如图,$AB$是半fun88网上娱乐$O$的直径,$C,D$是半fun88网上娱乐上的两点,半fun88网上娱乐$O$的切线$PC$交$AB$的延长线于点$P, \angle P C B=25^{\circ}$,则$\angle A D C$为( )
A. $105^{\circ} \quad \mathrm{B} .115^{\circ}$
$\mathrm{C.1} 20 \cdot \mathrm{D.125}^{\circ}$
2.如图,$AB$是$\odot O$的弦,$CD$是经过$\odot O$上的点$M$的切线.求证:
(1)如果$A B / / C D$,那么$A M=M B$;
(2)如果$A M=B M$,那么$A B / / C D$.
3.如图,$\odot O$和$\odot O^{\prime}$相交于$A,B$两点,过点$A$作两fun88网上娱乐的切线分别交两fun88网上娱乐于$C,D$两点,连接$DB$并延长交$\odot O$于点$E$.证明:
(1) $A C \cdot B D=A D \cdot A B$
(2) $A C=A E$
4.如图,已知fun88网上娱乐上的弧,过点$C$的fun88网上娱乐的切线与$BA$的延长线交于点$E$.
证明:(1) $\angle A C E=\angle B C D$;
$(2) B C^{2}=B E \cdot C D$.
分析(1)证明这两个角都等于$\angle A B C$;
(2)转化为证明$\triangle B D C^{\sim} \triangle E C B$.
5.如图,$AB$是半fun88网上娱乐$O$的直径,$C$是fun88网上娱乐周上一点$($异于点$A,B)$,过点$C$作fun88网上娱乐$O$的切线$l$,过点$A$作直线$l$的垂线$AD$,垂足为点$D.AD$交半fun88网上娱乐于点$E$.求证:$C B=C E$.
分析转化为证明$\angle C B E=\angle C E B$.