球的切线与切平面-fun88网上娱乐网上娱乐柱面的内切球与fun88网上娱乐网上娱乐柱面的平面截线
2.掌握球的切平面的定义及其性质.
3.会判断平面截立体图形所产生的截面的形状.
1.球的切线
定义:与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线.
性质:球的切线垂直于过切点的半径.
若球的切线通过球外一点$P$,切点为$A$,则称线段$PA$的长为从点$P$引的球的切线长.
球的切线长性质:从球外任一点引该球的所有切线长相等.
2.球的切平面
定义:与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面.
性质:一个球的切平面,垂直于过切点的半径.
3.fun88网上娱乐网上娱乐柱面的内切球
如图,在fun88网上娱乐网上娱乐柱面的轴上任取一点$C$,过$C$作垂直于轴的平面$\delta$,则平面$\delta$在fun88网上娱乐网上娱乐柱面上的截线是$\odot(C, x)$.以C为球心,$r$为半径作球,则$\odot(C, x)$也是球与fun88网上娱乐网上娱乐柱面所有公共点的集合.
在$\odot(C, x)$上任取一点$H$,则$CH$与过点$H$的母线垂直.过球半径的外端与该球半径垂直的直线,都是球的切线,于是fun88网上娱乐网上娱乐柱面的每一条母线都与球相切,易证,所有切点的集合是半径为$r$的fun88网上娱乐网上娱乐,此fun88网上娱乐网上娱乐称做切点fun88网上娱乐网上娱乐.这时,我们说fun88网上娱乐网上娱乐柱面与球面相切,该球叫做fun88网上娱乐网上娱乐柱面的内切球.
4.fun88网上娱乐网上娱乐柱面的平面截线
若平面$\delta$与fun88网上娱乐网上娱乐柱面的轴线垂直,则平面$\delta$截fun88网上娱乐网上娱乐柱面所得的截线是一个fun88网上娱乐网上娱乐,此时称$\delta$平面为fun88网上娱乐网上娱乐柱面的直截面.
若平面$\sigma$与fun88网上娱乐网上娱乐柱面的轴线所成的角为锐角,则平面$\sigma$截fun88网上娱乐网上娱乐柱面所得的截线是椭fun88网上娱乐网上娱乐,此时称平面$\sigma$为斜截面.
5.椭fun88网上娱乐网上娱乐
(1)定义:在一个平面内,到两个定点距离和等于定长(大于两定点的距离)的点的轨迹,叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐.
(2)组成元素:如图,$F_{1}, F_{2}$是椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点,$B_{1} B_{2}$是$F_{1} F_{2}$的中垂线.
我们把$A_{1} A_{2}$叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐的长轴,$B_{1} B_{2}$叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐的短轴,$F_{1} F_{2}$叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦距.如果长轴为2$a$,短轴为2$b$,那么焦距$2 c=2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}$.
(3)如图,设一平面$\sigma$与fun88网上娱乐网上娱乐柱面轴线所成的角为$\alpha\left(0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ}\right)$,截得的曲线记为$m$.如图,取半径等于fun88网上娱乐网上娱乐柱面内切球半径$r$的两个球,从平面$\sigma$的上方或下方放入fun88网上娱乐网上娱乐柱面内(这两个球为fun88网上娱乐网上娱乐柱面的两个内切球),并使它们分别与平面$\sigma$相切,设切点分别为$F_{1}$和$F_{2}$.在截线m上任取一点M,连接$M F_{1}$和$M F_{2}$;过点$M$作fun88网上娱乐网上娱乐柱面的母线,分别与两个球相切于点$P_{1}$和$P_{2}$.$M P_{1}$和$M F_{1}, M P_{2}$和$M F_{2}$分别都是同一点引同一球的两条切线,所以$M P_{1}=M F_{1}, \\ M P_{2}=M F_{2}, \\ M F_{1}+M F_{2}=M P_{1}+M P_{2} \\ =P_{1} P_{2}$
.由于$P_{1} P_{2}$的长与点$M$的选择无关,所以对曲线$m$上任一点$M$,到两个切点的距离和等于定长$\left(P_{1} P_{2}\right.$的长$)$.在平面$\sigma$内,除曲线$m$上的点外,其他各点都不具有上述性质.故上述性质是椭fun88网上娱乐网上娱乐的一个特征性质.【做一做1】 已知$F_{1}$和$F_{2}$是椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点,$P$是椭fun88网上娱乐网上娱乐上的任一点,$P F_{1}=d_{1}, P F_{2}=d_{2}$,则( )
$\mathrm{A} \cdot d_{1}+d_{2}$是常数 $\mathrm{B} \cdot d_{1}-d_{2}$是常数
$\mathrm{C} \cdot d_{1} d_{2}$是常数 $\mathrm{D} \cdot \frac{d_{1}}{d_{2}}$是常数
答案:$A$
【做一做2】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的长轴长为10,短轴长为8,则焦距等于( )
A.6 B.8 C.10 D.3
解:析:设椭fun88网上娱乐网上娱乐的长轴长、短轴长、焦距分别为$2 a, 2 b, 2 c$,则由题意,知$2 a=10,2 b=8$,
故$a=5, b=4$,即$2 c=2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}=6$.
答案:$A$
Dandelin双球探求椭fun88网上娱乐网上娱乐性质的过程
剖析通过一条直线与相离的两个等fun88网上娱乐网上娱乐的内公切线的情形,类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形,从而得到有关结论,因而对于平面内直线与两个相离的等fun88网上娱乐网上娱乐的内公切的情形要注意研究,这有助于理解椭fun88网上娱乐网上娱乐和下一节的知识.
fun88网上娱乐网上娱乐柱内嵌入两个球,使它们分别位于斜截面的上方和下方,并且与fun88网上娱乐网上娱乐柱和斜截面均相切,这是研究椭fun88网上娱乐网上娱乐性质的关键.这种方法是数学家Dandelin创立的,故将嵌入的两球称为Dandelin双球.要注意对于Dandelin双球的研究.
题型 探讨椭fun88网上娱乐网上娱乐的性质
【例】 如图,已知球$O_{1}, O_{2}$分别切平面$\beta$于点$F_{1}, F_{2}, P_{1} P_{2}$为$\odot O_{1}$的一条直径,$Q_{1, Q_{2}}$分别为$P_{1, P_{2}}$在平面$\beta$内的平行投影,$G_{1} G_{2}=2 a, Q_{1} Q_{2}=2 b, G_{1} G_{2}$与$Q_{1} Q_{2}$垂直平分,求证:$F_{1} F_{2}=2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}$.
反思
探究fun88网上娱乐网上娱乐柱体的斜截口??椭fun88网上娱乐网上娱乐的性质,要仔细考查Dandelin双球与fun88网上娱乐网上娱乐柱及其截平面的关系,综合地应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形以及平行投影的性质等.
真题
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率是( )
$\begin{array}{llll}{\mathrm{A}_{-5}^{\frac{1}{5}}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} & {\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{1}{2}}\end{array}$
2.两个fun88网上娱乐网上娱乐柱的底面半径分别为$R r(R>r)$,平面π与它们的母线的夹角分别为$\alpha, \beta\left(\alpha<\beta < 90^{\circ}\right)$,斜截口椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率分别为$e_{1}, e_{2}$,则( )
$\mathrm{A} \cdot e_{1}>e_{2} \mathrm{B} \cdot e_{1} < e_{2}$
$\mathrm{C} \cdot e_{1}=e_{2} \mathrm{D}$无法确定
3.已知fun88网上娱乐网上娱乐柱的底面半径为2,平面$\pi$与fun88网上娱乐网上娱乐柱的斜截口的离心率为$\frac{1}{2}$,则椭fun88网上娱乐网上娱乐的长半轴长是( )
$\begin{array}{llll}{\text { A.2 }} & {\text { B.4 }} & {\text { C. } \frac{16}{3}} & {\text { D. } \frac{4 \sqrt{3}}{3}}\end{array}$
4.已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率$e=\frac{4}{5}$,焦距为8,则椭fun88网上娱乐网上娱乐的长轴长为_________.