一些常见曲线的参数方程

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.借助教具或计算机软件,了解摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.
2.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在实际应用中的实例.
知识点
  • 1.摆线的概念及产生过程

    fun88网上娱乐的摆线就是一fun88网上娱乐周沿一直线作无滑动滚动时,fun88网上娱乐周上的一定点的轨迹,fun88网上娱乐的摆线也称为旋轮线.

  • 2.渐开线的产生过程

    把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的fun88网上娱乐盘的侧面上,把绳拉紧逐渐展开,绳的外端点随之移动,且绳的拉直部分始终和fun88网上娱乐相切.绳的端点移动的轨迹就是一条fun88网上娱乐的渐开线,固定的fun88网上娱乐称为渐开线的基fun88网上娱乐.

    【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述正确的是(  )

    A.只有fun88网上娱乐才有渐开线

    B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形

    C.正方形也可以有渐开线

    D.对于同一个fun88网上娱乐,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同

    解析:不仅fun88网上娱乐有渐开线,其他图形如椭fun88网上娱乐、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个fun88网上娱乐不论在什么地方建立平面直角坐标系,画出的渐开线形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.

    答案:$C$

  • 3.fun88网上娱乐的渐开线和摆线的参数方程

    (1)摆线的参数方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=a(t-\sin t)} \\ {y=a(1-\cos t)}\end{array}\right.$

    (2)fun88网上娱乐的渐开线的参数方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=a(\cos t+t \sin t)} \\ {y=a(\sin t-t \cos t)}\end{array}\right.$

    名师点拨

    fun88网上娱乐的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实际意义.

    【做一做2-1】 半径为4的fun88网上娱乐的渐开线的参数方程是________. 

    答案:$\left\{\begin{array}{l}{x=4(\cos t+t \sin t)} \\ {y=4(\sin t-t \cos t)}\end{array}\right.$

    【做一做2-2】 求摆线$\left\{\begin{array}{l}{x=2(t-\sin t)} \\ {y=2(1-\cos t)}\end{array}(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$与直线$y=2$的交点的直角坐标.

    解:当$y=2$时,$2=2(1-\cos t), \therefore \cos t=0$.

    $\because 0 \leq t \leq 2 \pi, \therefore t=\frac{\pi}{2}$ 或$\frac{3 \pi}{2}$.

    $\therefore x_{1}=2\left(\frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{2}\right)=\pi-2$

    $x_{2}=2\left(\frac{3 \pi}{2}-\sin \frac{3 \pi}{2}\right)=3 \pi+2$.

    $\therefore$交点坐标为$(\pi-2,2),(3 \pi+2,2)$.

重难点
  • 1.fun88网上娱乐的渐开线和摆线的参数方程中,参数$t$的几何意义

    剖析根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母$a$是指基fun88网上娱乐的半径,而参数$t$是指绳子外端运动时绳子与基fun88网上娱乐的切点B转过的角度,如图,其中的$\angle A O B$即是角$t$.显然点$M$由参数t唯一确定.我们在解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.同样,根据fun88网上娱乐的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母$a$是指定fun88网上娱乐的半径,参数t是指fun88网上娱乐上定点相对于定直线与fun88网上娱乐的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.

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  • 2.fun88网上娱乐的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程

    剖析用参数方程描述运动规律,常常比用普通方程更直接、简便.有些重要但较复杂的曲线(例如fun88网上娱乐的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如fun88网上娱乐的渐开线的普通方程,

    可以根据其参数得普通方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a(\cos t+t \sin t)} \\ {y=a(\sin t-t \cos t)}\end{array}\right.$,消去参数$t$,

    但根据方程画出曲线十分费时.而利用参数方程把两个变量$x,y$间接

    地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究fun88网上娱乐的渐开线和fun88网上娱乐的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.

例题解析
  • 题型一 fun88网上娱乐的摆线的参数方程

    【例1】 已知一个fun88网上娱乐的摆线过定点(2,0),请写出该fun88网上娱乐的半径最大时摆线的参数方程.

    分析根据fun88网上娱乐的摆线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a(t-\sin t)} \\ {y=a(1-\cos t)}\end{array}\right.$只需把点$(2,0)$代入参数方程求出$a$的表达式,根据表达式求出$a$的最大值,再确定对应的摆线的参数方程即可.

  • 题型二 fun88网上娱乐的渐开线的参数方程

    【例2】 已知fun88网上娱乐的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点$A,B$对应的参数分别是 $\frac{\pi}{3}$和 $\frac{\pi}{2}$求$A,B$两点间的距离.

    分析先写出fun88网上娱乐的渐开线的标准参数方程,再把$A,B$对应的参数代入标准参数方程可得对应的A,B两点的坐标,再使用两点之间的距离公式可得$A,B$之间的距离.

  • 题型三 易错辨析

    【例3】 已知一个fun88网上娱乐的摆线过定点$(1,0)$,请写出该fun88网上娱乐的摆线的参数方程.

  • 真题

    1.如果$\left\{\begin{array}{l}{x=3 \cos \theta} \\ {y=3 \sin \theta}\end{array}(0 \leq \theta \leq 2 \pi)\right.$的摆线上一点的纵坐标为$0$,那么其横坐标可能是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } \pi} & {\text { B.3 } \pi} \\ {\text { C.6 } \pi} & {\text { D.10 } \pi}\end{array}$

    2.给出下列说法:①fun88网上娱乐的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②fun88网上娱乐的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究fun88网上娱乐的渐开线问题;③在求fun88网上娱乐的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;④fun88网上娱乐的渐开线和x轴一定有交点,而且是唯一的交点.

    其中正确的说法有(  )

    A.①③  B.②④  C.②③  D.①③④

    3.已知fun88网上娱乐的渐开线的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\cos t+t \sin t} \\ {y=\sin t-t \cos t}\end{array}\right.$则此渐开线对应的基fun88网上娱乐的直径是___________,当参数$t=\frac{\pi}{4}$时对应的曲线上的点的坐标为__________. 

    4.渐开线$\left\{\begin{array}{l}{x=6(\cos t+t \sin t)} \\ {y=6(\sin t-t \cos t)}\end{array}\right.$的基fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心在原点,把基fun88网上娱乐上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的焦点坐标为_________. 

    5.写出半径为2的fun88网上娱乐的渐开线的参数方程. 

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