直角坐标系,平面上的伸缩变换

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.回顾在直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.
2.通过具体例子,了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
知识点
  • 1.直角坐标系

    (1)直线上点的坐标;

    (2)平面直角坐标系;

    (3)空间直角坐标系.

    名师点拨

    (1)直角坐标系的作用:使点与坐标(有序实数组)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.

    (2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.

    (3)坐标法解决几何问题的步骤:第一步,建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步,通过代数运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.

    【做一做1-1】 已知平面内三点$A(2,2), B(1,3), C(7, x)$,且满足$\overrightarrow{B A} \perp \overrightarrow{A C}$则$x$的值为(  )

    A.3     B.6     C.7     D.9

    解析:$\overrightarrow{B A}=(1,-1), \overrightarrow{A C}=(5, x-2)$

    $\because \overrightarrow{B A} \perp \overrightarrow{A C}, \\ \therefore \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A C}=5-(x-2)=0 . \therefore x=7$

    答案:C 

    【做一做1-2】 已知平行四边形$ABCD$,求证:$A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$.

    证明如图,以边$AB$所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系$x O y$,则$A(0,0)$.

    blob.png

    设$B(a, 0), C(b, c)$,

    则$D(b-a, c)$,

    $\therefore A B^{2}=a^{2}, A D^{2}=(b-a)^{2}+c^{2}$

    $A C^{2}=b^{2}+c^{2}, B D^{2}=(b-2 a)^{2}+c^{2}$

    $\because A C^{2}+B D^{2}=4 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-4 a b$

    $=2\left(2 a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b\right)$,

    而$A B^{2}+A D^{2}=2 a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b$,

    $\therefore A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$.

  • 2.平面上的伸缩变换

    (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换.

    (2)平面上的伸缩变换:设点$P(x, y)$是平面上任意一点,在变

    换$\left\{\begin{array}{l}{X=a x, a>0} \\ {Y=b y, b>0}\end{array}\right.$的作用下,点$P(x, y)$对应到点$Q(X, Y)$,称为平面上的伸缩变换.

    【做一做2-1】 由正弦曲线$y=\sin x$得到$y=\frac{1}{2} \sin \frac{1}{2} x$的图象经过的变换为(  )

    A.将横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$,纵坐标也压缩为原来的 $\frac{1}{2}$

    B.将横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$,纵坐标伸长为原来的2倍

    C.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍

    D.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$

    答案:D 

    【做一做2-2】 将正弦曲线$y=\sin x$作如下变换:$\left\{\begin{array}{l}{X=2 x} \\ {Y=\frac{1}{3} y}\end{array}\right.$得到的曲线方程为(  )

    A. $Y=3 \sin \frac{1}{2} X \mathrm{B} . Y=\frac{1}{3} \sin 2 X$

    C. $Y=\frac{1}{2} \sin 2 X \mathrm{D} . Y=\frac{1}{3} \sin \frac{1}{2} X$

    答案:D 

重难点
  • 建立平面直角坐标系的方法

    剖析一般情况下,有如下建立平面直角坐标系的方法:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴,建立平面直角坐标系;(2)当题目中有轴对称图形时,以轴对称图形的对称轴为坐标轴,建立平面直角坐标系;(3)当题目中有长度已知的线段时,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点,建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.

    平面直角坐标系建立完后,需仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件.

例题解析
  • 题型一 用平面直角坐标系解决实际问题

    【例1】 如图所示,$A,B,C$是三个观察站,$A$在$B$的正东方向,两地相距$6 km,C$在$B$的北偏西$30^{\circ}$方向,两地相距$4 km$,在某一时刻,$A$观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为$1 \mathrm{km} / \mathrm{s}, 4 \mathrm{s}$后$B,C$两个观察站同时发现这种信号,在以过$A,B$两点的直线为$x$轴,以$AB$的垂直平分线为$y$轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的位置$P$的坐标.

    分析由题意可知,点$P$所在的位置满足两个条件:(1)在线段$BC$的垂直平分线上;(2)在以$A,B$为焦点的双曲线的右支上.

    blob.png

    反思

    合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键,若坐标系建立得合理,则可以简化我们的计算,并且使问题的结论清晰明了、具体形象,反之,将会带来计算的烦琐,结果也不明确.

  • 题型二 平面直角坐标系下的轨迹问题

    【例2】 $\triangle A B C$的顶点$A$固定,点$A$的对边$BC$的长是$2a$,边$BC$上的高是$b$,边$BC$沿一条直线移动,求$\triangle A B C$外心的轨迹方程.

    反思
    解决求轨迹方程的问题,在掌握求轨迹方程的一般步骤的基础上,还要注意:

    (1)选择恰当的坐标系,坐标系如果选择得恰当,可使解题过程简化,减少计算量;

    (2)要注意给出轨迹的范围,在限定范围的基础上求轨迹方程.若只求出轨迹方程,而没有根据题目要求,确定出x,y的取值范围,则最后的结论是不完备的.

  • 题型三  平面上的伸缩变换

    【例3】 在同一平面直角坐标系下经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{X=3 x} \\ {Y=\frac{1}{2} y}\end{array}\right.$后,fun88网上娱乐$x 2+y 2=1$变成了什么曲线?

    分析将伸缩变换中的$x,y$分别用$X,Y$表示,代入已知的曲线方程,即可得到所求曲线的方程,再由方程判断曲线的类型.

  • 题型四 易错辨析

    【例4】 在平面直角坐标系中,求方程$x+y+2=0$所对应的图形经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{X=\frac{1}{2} x} \\ {Y=4 y}\end{array}\right.$后的图形.

  • 真题

    1.点$P(1,-2)$关于点$A(-1,1)$的对称点$P^{\prime}$的坐标为(  )

    A. $(3,4)$ B. $(-3,4)$

    C. $(3,-4)$ D. $(-3,-4)$

    2.在平面直角坐标系中,已知点$A(-1,3)$,点$B(3,1)$,点C在坐标轴上,$\angle A C B=90^{\circ}$,则满足条件的点$C$的个数是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A.1 }} & {\text { B.2 }} \\ {\text { C.3 }} & {\text { D.4 }}\end{array}$

    3.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{X=5 x} \\ {Y=3 y}\end{array}\right.$后,曲线$C$变为曲线$X 2+Y 2=1$,则曲线$C$的方程为(  )

    A. $25 x^{2}+9 y^{2}=1$

    B. $9 x^{2}+25 y^{2}=1$

    C. $25 x+9 y=1$

    D. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$

    4.已知函数$f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x+1)^{2}+1}$,则$f(x)$的最小值为_________.

    5.在同一平面直角坐标系中,将曲线$x^{2}-36 y^{2}-8 x+12=0$变成曲线$X^{2}-Y^{2}-4 X+3=0$,求满足条件的伸缩变换.

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