高中数学网比较法
2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.
3.通过学习比较法证明不等式,培养学生对转化思想的理解和应用.
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
作差比较法
作商比较法
定义
要证明$a>b$,只要证明$a-b>0$.要证明$a < b$,只要证明$a-b < 0$
要证明$a > b > 0$,只要证$\frac{a}{b} > 1$.要证明 $ b > a > 0$,只要证明$\frac{b}{a} > 1$
适用类型
适用于具有多项式特征的不等式的证明
主要适用于积、商、幂、对数、根式
形式的不等式证明
【做一做1】 设$m=a+2 b, n=a+b^{2}+1$,则( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot m>n} & {\mathrm{B} \cdot m \geq n} \\ {\mathrm{C} \cdot m < n} & {\text { D. } m \leq n}\end{array}$
解析:$\because n-m=b^{2}+1-2 b=(b-1)^{2} \geqslant 0, \\ \therefore n \geq m$.
答案:D
【做一做2】 下列命题中,是真命题的有( )
①当$b>0$时,$a>b \Leftrightarrow \frac{a}{b}>1$;②当$b>0$时,$a < b \Leftrightarrow \frac{a}{b} < 1$;③当$a>0, b>0$时,$\frac{a}{b}>1 \Leftrightarrow a>b$;④当$a b>0$时,$\frac{a}{b}>1 \Leftrightarrow a>b$.
A.①②③ B.①②④
C.④ D.①②③④
答案:A
1.用作差比较法证明不等式的一般步骤是什么?
剖析:用作差比较法证明不等式的一般步骤如下.(1)作差:把不等式的左、右两边作差,可以是左边减右边,也可以是右边减左边;(2)变形:把这个差变化为易于判断正负的形式,而不必考虑差的值是多少,变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等;(3)判断差的符号:主要依据差的最后变形的结果来判断;(4)下结论:肯定所证明的不等式成立.
2.作商比较法中的符号问题如何解决?
剖析:在作商比较法中,$\frac{b}{a}>1 \Rightarrow b>a$是不正确的,这与a,b的符号有关,比如若$a>0, b>0$,由 $\frac{b}{a}>1$,可得$b>a$,但若$a < 0,b < 0$,则由$\frac{b}{a}>1$得出的是$b < a$,也就是说,在作商比较法中,要对$a,b$的符号作出判
断.否则,结论将是错误的.对于此类问题,分为含参数变量类的和大小固定的两种,因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测,进而给出一定的理性推理或证明过程.
用作差比较法证明不等式
【例1】 若a,b均为正数,求证:$\left(\frac{b^{2}}{a}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{a^{2}}{b}\right)^{\frac{1}{2}} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$
分析:将不等式左边通分后,可以看到分子化为$(\sqrt{a})^{3}+(\sqrt{b})^{3}$的形式,结合右边$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的形式,可考虑用作差比较法.
反思
应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决.在实际应用不等关系解决问题时,常用比较法来判断数的大小关系,若是选择题或填空题,则可用特殊值加以判断.
易错辨析
易错点:作差后对差式变形不恰当,使判断符号的过程含糊不清.
【例4】 判断函数$f(x)=x^{3}$在$\mathbf{R}$上的单调性.
真题
1.下列关系式中对任意$a < b < 0$的实数都成立的是( )
A.$a^{2} < b^{2}$ B.$\lg b^{2} < \lg a^{2}$
C.$\frac{b}{a} > 1$ D.$\left(\frac{1}{2}\right)^{a^{2}} > \left(\frac{1}{2}\right)^{b^{2}}$2.已知$a>0$,且$a \neq 1, P=\log _{a}\left(a^{3}+1\right), Q=\log _{a}\left(a^{2}+1\right)$,则$P, Q$的大小关系是( )
$A . P > Q \quad B . P < Q $
$C . P=Q$D.大小不确定
3.已知$a, b$都是正数,$P=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}, Q=\sqrt{a+b}$,则$P, Q$的大小关系是( )
A.P>Q B.P
C.P $P \geqslant Q$ D.P $\leqslant Q$
4.若$-1 < a < b < 0$,则 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, a^{2}, b^{2}$中值最小的是________.
5.($(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)$________$(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)$.
