高中数学网绝对值不等式的解法
2.明确绝对值不等式解题的关键及方法步骤,会解简单的绝对值不等式.
1.含绝对值的不等式$|x| < a$与$|x|> 0$的解集
不等式
$a>0$
$a=0$
$a < 0$
$|x| < a$
$\{x |-a < x < a\}$
$\varnothing$
$\varnothing$
$|x|>a$
$\{x | x>a$或$x<-a \}$
$\{x | x \in \mathbf{R}$
且$x \neq 0 \}$$R$
【做一做1-1】 不等式$|x| \geqslant 3$的解集为_________.
答案:$\{x | x \leq-3$或$x \geqslant 3 \}$
【做一做1-2】 对任意实数x,不等式$|x|>a$恒成立,则实数$a$的取值范围是_________.
解析:$\because|x| \geqslant 0, \therefore$要使$|x|>a$恒成立,则$a < 0$.
答案:$(-\infty, 0)$
2.$|a x+b| \leqslant c,|a x+b| \geqslant c(c>0)$型不等式的解法
$(1)|a x+b| \leqslant c(c>0)$型不等式的解法是:先化为不等式组
$-c \leqslant a x+b \leqslant c$,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.
$(2)|a x+b| \geqslant c(c>0)$型不等式的解法是:先化为$a x+b \geq c$或$a x+b \leq-c$,再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集.
名师点拨解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使其变为不含绝对值符号的一般不等式,然后,其解法就与解一般的不等式或不等式组相同.
【做一做2-1】 已知集合$A=\left\{x | x^{2}-5 x+6 \leqslant 0\right\}$,集合$B=\{x| | 2 x-1 |>3\}$,则集合$A \cap B$等于( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }\{x | 2 \leqslant x \leqslant 3\}} & {\text { B. }\{x | 2 \leqslant x < 3\}} \\ {\text { C. }\{x | 2 < x \leqslant 3\}} & {\text { D. }\{x |-1 < x < 3\}}\end{array}$
解析:$\because A=\{x | 2 \leqslant x \leqslant 3\}, B=\{x | x>2$或$x<-1 \}, \therefore A \cap B=\{x | 2 < x \leqslant 3\}$}.
答案:$C$
【做一做2-2】 若不等式$|3 x-b| < 4$的解集中的整数有且仅有1,2,3,则$b$的取值范围为_________.
解析:$\because|3 x-b| < 4, \therefore-4 < 3 x-b < 4 . \\ \therefore \frac{b-4}{3} < x < \frac{b+4}{3}$
又∵不等式的解集中有且仅有1,2,3三个整数,
$\therefore\left\{\begin{array}{l}{0 \leq \frac{b-4}{3} < 1,} \\ {3<\frac{b+4}{3} \leq 4,}\end{array} \therefore\left\{\begin{array}{l}{4 \leq b < 7} \\ {5 < b \leq 8}\end{array} \therefore 5 < b < 7\right.\right.$.
答案:(5,7)
3.$|x-a|+|x-b| \geq c$和$|x-a|+|x-b| \leq c$型不等式的解法
(1)解法一:分区间讨论法.一般步骤是:①令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根;②把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区间;③在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集;④这些解集的并集就是原不等式的解集.
(2)解法二:几何法.几何解法的关键是对绝对值几何意义的理解.例如:$|x-a|+|x-b| < c(c>0)$的解集为与$A(a), B(b)$距离之和小于c的点的全体.
(3)解法三:图象法.图象法的关键是构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,利用函数的图象得到不等式的解集.
知识拓展 < br/>关于$|x-a|<|x-b|(a \neq b)$的解法可以利用解不等式$|x| < a(a> 0) \Leftrightarrow x^{2} < a^{2}$的解法去掉绝对值符号来解:$|x-a|<|x-b| \Leftrightarrow(x-a)^{2}<(x-b)^{2}$.
【做一做3】 不等式$|x+3|+|x-3|>8$的解集为_________.
解析:$|x+3|+|x-3| > 8$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x < -3} \\ {-x-3-x+3 > 8}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{-3 \leq x < 3} \\ {x+3-x+3 > 8}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{x \geq 3} \\ {x+3+x-3 > 8}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x < -3} \\ {x < -4}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{-3 \leq x < 3} \\ {6 > 8}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{x \geq 3} \\ {x > 4}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x < -4$ 或$x > 4$。
答案： $(-\infty,-4) \cup(4,+\infty)$
1.如何用分区间讨论法解含绝对值的不等式?
剖析:分区间讨论法解含绝对值的不等式时,是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点),将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含绝对值符号的不等式去解,求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论,以免漏解.
在分区间讨论的过程中,每一个区间的讨论都有一个“x”的范围(或值)作为本区间讨论的前提,这与解含参数的不等式有些类似,但本质上又不同,每一区间的讨论结果,都是“x”的前提范围与本区间含绝对值不等式去掉绝对值符号的不等式解集的交集,而最后的不等式的解集应是每一区间结果的并集.解含参数的不等式讨论时,每一步的前提条件是参数所取的范围(或值),每一步间的结果各自独立,不存在“交、并”集的说法,因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论.所以解含绝对值不等式与解含参数不等式,虽然都用的分区间讨论法,但实质上是不同的.这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程,以免出错.
2.几个特殊的含绝对值的不等式的区别是什么?
剖析:(1)若$|x-4|-|x-3|>a$有解,则a的取值范围是_________;
(2)若$|x-4|-|x-3|>0$的解集为R,则a的取值范围是_________;
(3)若$|x-4|+|x-3| < a$的解集为?,则a的取值范围是_________;
(4)若$|x-4|+|x-3|>a$的解集为R,则a的取值范围是_________.
处理以上这种问题,我们可以与函数$y=|x-4|-|x-3|, y=|x-4|+|x-3|$的最值(值域)等联系起来,第一个函数的值域为$[-1,1]$,而第二个函数只有最小值$1$,即$|x-4|+|x-3|≥1$,所以(1)$|x-4|-|x-3|>a$要有解,只需$a < 1$;(2)$|x-4|-|x-3|>a$的解集要是$R$,则说明是恒成立问题,所以$a<[|x-4|-|x-3|]min=-1$,即$a<-1$;(3)$|x-4|+|x-3| < a$的解集为?,说明$a≤[|x-4|+|x-3|]min=1$,即$a≤1$;(4)$|x-4|+|x-3|>a$的解集为$R$,说明$a<[|x-4|+|x-3|]min=1$,即$a < 1$.以上这几种不等式问题,实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题,当然也可以借助函数的图象,用数形结合来解得$a$的取值范围.而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助.
简单的绝对值不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
$(1)|4 x+5| \geq 25$
$(2)|3-2 x| < 9$
$(3) 1<|x-2| \leq 3$.
分析:根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解.
反思
绝对值不等式的常见类型及其解法:
(1)形如$|f(x)| < a,|f(x)|> a(a \in \mathbf{R})$型不等式
此类问题的简单解法是等价命题法,即
①当$a>0$时,$|f(x)| < a \Leftrightarrow-a < f(x) < a$.
$|f(x)|>a \Leftrightarrow f(x)>a$或$f(x)<-a$.
②当$a=0$时,$|f(x)| < a$无解.
$|f(x)|>a \Leftrightarrow f(x) \neq 0$.
③当$a < 0$时,$|f(x)| < a$无解.
$|f(x)|>a \Leftrightarrow f(x)$有意义.
(2)形如$|f(x)|<|g(x)|$型不等式
此类问题的简单解法是利用平方法,即
$|f(x)|<|g(x)| \Leftrightarrow[f(x)]^{2}<[g(x)]^{2}$
$\Leftrightarrow[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] < 0$.
(3)形如$|f(x)| < g(x),|f(x)|>g(x)$型不等式
此类问题的简单解法是等价命题法,即
①$f(x) | < g(x) \Leftrightarrow-g(x) < f(x) < g(x)$.
②$f(x) |>g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)$或$f(x)<-g(x)$(其中$g(x)$可正也可负).
若此类问题用分类讨论法来解决,则显得较复杂.
(4)形如$a<|f(x)| < b(b> a>0)$型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法,即
$a<|f(x)| < b(0 < a < b)$
$\Leftrightarrow a < f(x) < b$或$-b < f(x)<-a$.
(5)形如$|f(x)| < f(x),|f(x)|>f(x)$型不等式
此类问题的简单解法是利用绝对值的定义,即
$|f(x)| < f(x) \Leftrightarrow x \in \varnothing$
$|f(x)|>f(x) \Leftrightarrow f(x) < 0$.
含多个绝对值的不等式的解法
【例2】 解下列不等式:
$(1)|x+1|+|x-1| \geq 3$
$(2)|x+2|+|x-1| < 6$.
分析:(1)本题可以用分区间讨论法或数形结合法求解,对于形如$|x+a|+|x+b|$的代数式,可以认为是分段函数.(2)可用分区间讨论法,也可以利用绝对值的几何意义去绝对值符号求解或应用图象法求解.
反思
$(1)|x-a|+|x-b| \\ \geqslant c|x-a|+|x-b| \leqslant c(c>0)$
型不等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较烦琐;几何法和图象法较直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,
即$|x|=\left\{\begin{array}{l}{x, x \geq 0} \\ {-x, x < 0}\end{array}\right.$
$(3)|x-a|+|x-b| \geqslant c, \\ |x-a|+|x-b| \leqslant c(c>0)$
型不等式的图象解法和画出函数$f(x)=|x-a|+|x-b|-c$的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出$f(x)$的分段表达式.不妨设$a < b$,于是$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-2 x+a+b-c, x \leq a} \\ {b-a-c, a < x < b} \\ {2 x-a-b-c, x \geq b}\end{array}\right.$
这种图象解法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.
(4)几何解法的关键是理解绝对值的几何意义.
含参数的绝对值不等式的解法
【例3】 已知函数$f(x)=|x-a|$.
(1)若不等式$f(x) \leqslant 3$的解集为$\{x |-1 \leqslant x \leqslant 5\}$,求实数$a$的值;
(2)在(1)的条件下,若$f(x)+f(x+5) \geqslant m$对一切实数$x$恒成立,求实数$m$的取值范围.
易错辨析
易错点:应用取零点分区间讨论法求解含多个绝对值符号的不等式时,因漏掉分界点而致错.
【例4】 解不等式$|2 x-1|+|2 x-4| \geqslant 6$.
真题
1.不等式$|x-1|+|x-2| \leq 3$的最小整数解是( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
2.不等式$\left|\frac{x+1}{x-1}\right| < 1$的解集为( )
A. $\{x | 0< x < 1\} \cup\{x | x > 1 \}$
B. $\{x | 0 < x < 1\}$
C. $\{x |-1 < x < 0\}$
D. $\{x | x < 0\}$
3.若不等式$|x-3|+|x-4| < a$的解集不是空集,则实数a的取值范围是( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot(1,+\infty)} & {\mathrm{B} \cdot[1,+\infty)} \\ {\mathrm{C} \cdot(7,+\infty)} & {\mathrm{D} \cdot(1,7)}\end{array}$
4.不等式$|x+1|-|2 x-3|+2>0$的解集为_________.
5.若关于x的不等式$|x+2|+|x-1| < a$的解集为$\varnothing$,则a的取值范围为_________.
