综合法和分析法
2.掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤.
3.能综合运用综合法、分析法证明不等式.
1.综合法
在证明不等式的时候,我们经常要从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理,逐步推导,从而最后导出要证明的命题,这种方法称为综合法.
名师点拨用综合法证明不等式,就是用因果关系书写“从已知出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证不等式得证”的全过程,其特点可描述为“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.综合法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在步步注明推理依据.
【做一做1】 下面对命题“函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$是奇函数”的证明应用的不是综合法的是( )
A. $\forall x \in \mathbf{R}$,且$x \neq 0$,有$f(-x)=(-x)+\frac{1}{-x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right)=-f(x)$,则$f(x)$是奇函数
$\mathrm{B} . \forall x \in \mathbf{R}$,且$x \neq 0$,有$f(x)+f(-x)=x+\frac{1}{x}+(-x)+\left(-\frac{1}{x}\right)=0$,即$f(x)=-f(-x)$,则$f(x)$是奇函数
C. $\forall x \in \mathbf{R}$,且$x \neq 0$.
$\because f(x) \neq 0, \therefore \frac{f(-x)}{f(x)}=\frac{-x-\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}=-1$,
$\therefore f(-x)=-f(x)$,则$f(x)$是奇函数
D.取$x=-1, f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2$.
$\because f(1)=1+\frac{1}{1}=2, \therefore(f-1)=-f(1)$,则$f(x)$是奇函数
2.分析法
从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用已知的一些定理,逐步探索,最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明方法称为分析法.
归纳总结
方法
证明的起
始步骤
求证过程
求证目标
证题方向
综
合
法
基本不等式或已经证明过的不等式
实施一系列的推出或等价变换
要求证的结论
由因导果
分
析
法
要求证的不等式
寻求结论成立的充分条件,并证明这个充分条件成立
所需条件全部成立
执果索因
名师点拨用分析法证明“若$A$则$B$”的模式为:
欲证命题$B$成立,
只需证命题$B_{1}$成立,……
只需证命题$B_{2}$成立,……
……
只需证明$A$为真.
已知$A$为真,故$B$必为真.
可以简单写成:
$B \Leftarrow B_{1} \Leftarrow B_{2} \Leftarrow \cdots \Leftarrow B_{n} \Leftarrow A$.
【做一做2】 要证$a^{2}+b^{2}-1-a^{2} b^{2} \leq 0$,只要证( )
A. $2 a b-1-a^{2} b^{2} \leqslant 0$
B. $a^{2}+b^{2}-1-\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leq 0$
C. $\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-1-a^{2} b^{2} \leq 0$
D. $\left(a^{2}-1\right)\left(b^{2}-1\right) \geqslant 0$
解析:要证$a^{2}+b^{2}-1-a^{2} b^{2} \leq 0$,只要证$a^{2}\left(1-b^{2}\right)+\left(b^{2}-1\right) \leq 0$,只要证$\left(b^{2}-1\right)\left(a^{2}-1\right) \geqslant 0$.
答案:D
综合法在应用中的有关问题是什么?
剖析:用综合法证明不等式时,主要利用基本不等式,函数的单调性以及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论.
综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些基本不等式.比如下面的几个,是经常用到的:
①若$a,b,c$为正数,则有$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$;
②若$a,b,c$为正数,则有$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant a b+b c+c a$;
③若$a,b$为正数,则有$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \geqslant 4$.
选择使用哪个不等式作为证题的“原始出发点”或对已知条件的转化是证题的关键,这要求对要证明的结果有充分的分析过程,可以联系平时学习过程中积累下来的数学结论或知识作出判断.比如
证明$\sin x+\frac{4}{\sin x} \geqslant 5, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$,并不是使用基本不等式,而是利用了正弦函数sin x的有界性,以及形如$y=x+\frac{a}{x}$的,联想函数$y=x+\frac{4}{x}$的单调性求证的.由此可见,使用综合法证题必须积累一定的证题经验,还要记忆一些数学式子的独特.
用综合法证明不等式
【例1】 设$a,b,c$为$\triangle A B C$的三条边,求证:$a^{2}+b^{2}+c^{2} < 2 a b+2 b c+2 a c$.
分析:本题看似是一道与公式$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b(a, b \in \mathbf{R})$有关的题目,又好像与二次函数有关,但实际上这两种思路都行不通.其实本题的关键在于$\triangle A B C$中隐含的$a,b,c$的关系.
反思
本题容易由$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$或二次函数陷入思维定式,比如下面两种分析:分析一:$\because a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b, a^{2}+c^{2} \geqslant 2 a c, b^{2}+c^{2} \geqslant 2 b c$
$\therefore\left(a^{2}+b^{2}\right)+\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right) \\ \geqslant 2 a b+2 b c+2 a c$
,即$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant a b+b c+a c$,这严重背离了原题的证明意图.分析二:设$f(a)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(a b+b c+a c)$,即
$f(a)=a^{2}-2 a(b+c)+b^{2}+c^{2}-2 b c$
$\Delta=4(b+c)^{2}-4\left(b^{2}+c^{2}-2 b c\right)=16 b c>0$.
则f(a)的值可正、可负、可为零,无法确定.
因此,分析题目时,对条件要看清楚,尤其要探寻条件间的限制关系,以免受到某些思维定式的影响.
用分析法证明不等式
【例2】 已知$a>b>0$,求证:$\frac{(a-b)^{2}}{8 u}<\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}<\frac{(a-b)^{2}}{8 b}$.
分析:本题要证明的不等式显得较为复杂,不易观察出怎样由$a>b>0$得到要证明的不等式,因而可以用分析法先变形要证明的不等式,从中找到证题的线索.
反思
分析法的格式是固定化的,其中每一步都是上一步成立的充分条件,即每一步数学式的变化都是在这个要求之下一步一步去寻找成立的条件或结论、定理.
易错辨析
易错点:因不注意分析法的证题格式而致错.
【例3】 用分析法证明:$\sqrt{3}+\sqrt{6}<\sqrt{4}+\sqrt{5}$.
真题
1.设$a,b$为正数,$A=\sqrt{a}+\sqrt{b}, B=\sqrt{a+b}$,则$A,B$的大小关系是( )
A. $A \geqslant B$ B. $A \leqslant B$
$\mathrm{C} \cdot A > B \quad \mathrm{D} \cdot A < B$
2.若$x>y>1,0 < a < 1$,则下列式子中正确的是( )
A. $a^{x}>a^{y}$ B. $\log _{a} x>\log _{a} y$
$\mathrm{C} x^{a} < y^{a}$ D. $x^{-a} < y^{-a}$
3.设$x>y>z, n \in \mathbf{N}^{*}$,且$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z} \geq \frac{n}{x-z}$恒成立,则$n$的最大值是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
4.若$a>0, b>0$,则$\lg \left(1+\frac{a+b}{2}\right)$_________$\frac{1}{2}[\lg (1+a)+\lg (1+b)]($填“>、<、≥、≤”).