高中数学网排序不等式
2.了解排序不等式的与基本原理.
3.理解排序不等式的简单应用.
1.排序不等式
定义:设$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots \leqslant a_{n}, b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant \ldots \leqslant b_{n}$为两组实数,$c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$为$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$的任一排列,称$a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\ldots+a_{n} b_{n}$为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称$a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\ldots+a_{n} b_{1}$为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称$a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\ldots+a_{n} c_{n}$为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).
定理(排序原理,又称为排序不等式)设$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots \leqslant a_{n}, b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant \ldots \leqslant b_{n}$为两组实数,$c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$为$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$n的任一排列,则有$a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\ldots+a_{n} b_{1}$
$\leqslant a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\ldots+a_{n} c_{n} \\ \leqslant a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\ldots+a_{n} b_{n}$
,等号成立(反序和等于顺序和$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$或$b_{1}=b_{2}=\ldots=b_{n}$.排序原理可简记作:反序和$\leqslant$乱序和$\leqslant$顺序和.
名师点拨(1)排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.对于排序原理的记忆,我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系.
(2)学习排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增加或同时减少)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列.
【做一做1-1】 已知两组数$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant a_{3} \leqslant a_{4} \leqslant a_{5}, \\ b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant b_{3} \leqslant b_{4} \leqslant b_{5}$
,其中$a_{1}=2, a_{2}=7, a_{3}=8, a_{4}=9, a_{5}=12, \\ b_{2}=4, b_{3}=6, b_{4}=10, b_{5}=11$
将$b_{i}(i=1,2,3,4,5)$重新排列记为$c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}$,则$a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\ldots+a_{5} c_{5}$的最大值和最小值分别是( )$\begin{array}{ll}{\text { A. } 132,6} & {\mathrm{B} .304,212} \\ {\mathrm{C.} 22,6} & {\mathrm{D.} 21,36}\end{array}$
解析:由排序不等式可知,最大值应为$a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}+a_{4} b_{4}+a_{5} b_{5}=304$,最小值为$a_{1} b_{5}+a_{2} b_{4}+a_{3} b_{3}+a_{4} b_{2}+a_{5} b_{1}=212$.
答案:$B$
【做一做1-2】 设$a_{1}, a_{2}, a_{3} \in(0,+\infty)$,且$a_{1}, a_{2}, a_{3}$的任一排列为$a^{\prime} 1, a^{\prime} 2, a^{\prime} 3$,则$\frac{a_{1}}{a_{1}^{\prime}}+\frac{a_{2}}{a_{2}^{\prime}}+\frac{a_{3}}{a_{3}^{\prime}}$的最小值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
解析:由题意,不妨设$a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant a_{3}>0$,则 $\frac{1}{a_{3}} \geq \frac{1}{a_{2}} \geq \frac{1}{a_{1}}>0$,
于是 $\frac{a_{1}}{a_{1}^{\prime}}+\frac{a_{2}}{a^{\prime}_{2}}+\frac{a_{3}}{a_{3}^{\prime}} \geq \frac{a_{1}}{a_{1}}+\frac{a_{2}}{a_{2}}+\frac{a_{3}}{a_{3}}=3$,
当且仅当$a_{1}=a_{2}=a_{3}$时等号成立.
答案:A
2.切比晓夫不等式
设$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} ; b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$为任意两组实数,
(1)如果$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots \leqslant a_{n}$,且$b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant \ldots \leqslant b_{n}$或$a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant \ldots \geqslant a_{n}$且$b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant \ldots \geqslant b_{n}$,则$\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}}{n} \geq\left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right)\left(\frac{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}{n}\right)$;
(2)若$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots \leqslant a_{n}$而$b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant \ldots \geqslant b_{n}$或$a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant \ldots \geqslant a_{n}$而$b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant \ldots \leqslant b_{n}$,则$\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}}{n} \leq\left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right)\left(\frac{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}{n}\right)$.
上述两式中等号当且仅当$a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$或$b_{1}=b_{2}=\ldots=b_{n}$时成立.
【做一做2】 已知$a_{1}, a_{2}, a_{3} ; b_{1}, b_{2}, b_{3} \in \mathbf{R}$,且$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant a_{3}, b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant b_{3}$,则3$\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\right)$_________$\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right) \cdot\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}\right)$填“>,≥,<,≤,=”号).
解析:由$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant a_{3}, b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant b_{3}$,
根据切比晓夫不等式可知
$\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{3} \leq\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right)\left(\frac{b_{1}+b_{2}+b_{3}}{3}\right)$
即$3\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\right) \\ \leqslant\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}\right)$
当且仅当$a_{1}=a_{2}=a_{3}$或$b_{1}=b_{2}=b_{3}$时等号成立.
答案:$\leqslant$
1.对排序不等式的证明如何理解?
剖析:在排序不等式的证明中,用到了“探究??猜想??检验??证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.
对于出现的“逐步调整比较法”,则要引起注意,研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.
2.排序原理的思想是什么?
剖析:在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.
所证不等式中字母的大小顺序已确定的情
【例1】 设a,b都是正数,且$a \geqslant b>0$,求证:$\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+\left(\frac{b}{a}\right)^{2} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$.
分析:由于题目条件中已明确$a \geq b>0$,因此可以直接构造两个数组证明.
反思
可以直接利用$a \geq b>0$这一条件构造两个数组,用排序不等式证明.需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况
【例2】 设a,b,c都是正数,求证:$\frac{b c}{a}+\frac{a c}{b}+\frac{a b}{c} \geqslant a+b+c$.
分析:不等式的左边可以分为两个数组$a b, a c, b c ; \frac{1}{c}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a}$,排出顺序后可利用排序原理证明.
反思利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关键.
对所证不等式中字母的大小顺序需要加以讨论
【例3】 若$x>0$,求证:$1+x+x^{2}+\ldots+x^{2 n} \geqslant(2 n+1) x^{n}$.
分析:题目中只给出了$x>0$,但对于$x \geqslant 1, x < 1$没有明确,因而需要进行分类讨论.
反思
在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必须限定字母的大小顺序,而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论.
易错辨析
易错点:应用排序不等式时,因忽视等号成立的条件致错.
【例4】 已知$a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} \in[1,2]$,且$a_{1}, a_{2}, a_{3}$不全相等,$b_{1}, b_{2}, b_{3}$不全相等,试求式子$a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$的取值范围.
真题
1.设$a, b \in(0,+\infty), P=a^{3}+b^{3}, Q=a^{2} b+a b^{2}$,则$P$与$Q$之间的大小关系是( )
$\begin{array}{ll}{\text { A.P } > Q} {\text { B.P } \geqslant Q} \\ {\text { C.P } < Q} {\text { D.P } \leqslant Q}\end{array}$
2.设$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$都是正数,$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$是$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$的任一排列,则
$a 1 b_{1}^{-1}+a 2 b_{2}^{-1}+\cdots+a n b_{n}^{-1}$ 的最小值是( )
3.车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,每台机床停产1 min损失5元,如果一次只能修理1台机床,则经合理安排损失最少为( )元.
A.420 B.400
C.450 D.570
