高中数学网最大值与最小值问题,优化的数学模型
最值问题
设$D$为$f(x)$的定义域,如果存在$x_{0} \in D$,使得$f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)\left(f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)\right), x \in D$,则称$f\left(x_{0}\right)$为f$f(x)$在D上的最大(小)值,$x_{0}$称为$f(x)$在D上的最大(小)值点.
寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题,本节我们用平均值不等式及柯西不等式解决某些初等函数的最值问题.
【做一做】 用一张钢板制作一个容积为4 $\mathrm{m}^{3}$的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( )
A.2×5 B.2×5.5
C.2×6.1 D.3×5
解析:本题是一道立体几何和基本不等式相结合的综合题,此题主要考查考生信息处理能力和应用所学知识解决实际问题的能力,此题的题眼是“既要够用,又要所剩最少”.设长方体水箱的长、宽、高分别为$x,y,z,$
则$x y z=4$,水箱的表面积$m=x y+2 x z+2 y z=x y+2 x \cdot \frac{4}{x y}+2 y \cdot \frac{4}{x y} \\ =x y+\frac{8}{y}+\frac{8}{x} \geq 3^{3} \sqrt{x y \cdot \frac{8}{y} \cdot \frac{8}{x}}=12$
，要制作容积为4 $\mathrm{m}^{3}$的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 $\mathrm{m}^{2}$,故排除选项$A,B,$选项$C,D$均够用,但选项$D$所剩较多,故选$C.$
在利用平均值不等式解决某些初等函数的最值问题时要注意什么?
剖析:要注意三点:①函数式中,各项(必要时,还要考虑常数项)必须都是正数,若不是正数,则必须变形为正数;②函数式中,含变数的各项的和或积必须是常数,才能利用“定理”求出函数的最大(小)值.若含变数的各项之和或积不是常数(定值)时,则必须进行适当的配凑,使和或积变为常数(定值),才能使用“定理”求出函数的最大(小)值;③利用平均值不等式求最值时,必须能取到等号,若取不到等号,则必须经过适当的变形,使之能取到等号.上述三点可简记为“一正,二定,三相等”.
利用平均值不等式求最值
【例1】 已知$x \in(0,+\infty)$,求函数$y=x\left(1-x^{2}\right)$的最大值.
分析:为使数的“和”为定值,可以先平方,即$y^{2}=x^{2}\left(1-x^{2}\right)^{2}=x^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right) \\ =2 x^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$,求出最值后再开方。
反思
拼凑数学,以便能利用平均值不等式求最值,是必须掌握的一种解题方法,但拼凑要合理,且要符合适用的条件,对于本题,有的学生可能这样去拼凑:$y=x\left(1-x^{2}\right)=x(1-x)(1+x)= \\ \frac{1}{2} \cdot x(2-2 x) \cdot(1+x) \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{x+2-2 x+1+x}{3}\right)^{3} \\ =\frac{1}{2}$
虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取等号的条件,显然$x=2-2 x=1+x$无解,即无法取到等号,也就是说,这样拼凑是不正确的.这就要求平时多积累一些用拼凑方法的题型及数学,同时注意平均值不等式的使用条件,三个缺一不可.
利用柯西不等式求最值
【例2】 两批货物分别为$m$吨,$n$吨,要从甲运往丙,途中要经过乙中转,从甲到乙是公路运输,两批货物的运价都是每吨$a$元,从乙到丙是航空运输,运价都是每吨$b$元,问总运费最少为多少元?
分析:由题意知就是利用柯西不等式求$(m+n)(a+b)$的最小值.
反思
应用柯西不等式求函数的最值,关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化.实际应用问题
【例3】 如图所示,把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?
分析:设切去的小正方形的边长为$x$由题意可知,折成的盒子的底面边长为$a-2 x$,高为$x$,这时盒子的容积$V=(a-2 x)^{2} x$,再利用
算术?几何平均值不等式,变形为$x y z \leqslant\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^{3}$求解即可.
反思
求实际问题的最值,关键是建立适当的数学模型,从而将实际问题转化为数学问题再求最值.易错辨析
易错点:求最值时因忽略变量的取值范围致错.
【例4】 求函数$y=1-x-\frac{4}{x}$的值域.
真题
1.设$a, b, c \in(0,+\infty)$,且$a+b+4 c=1$,则$\sqrt{a}+\sqrt{b}+2 \sqrt{c}$的最大值为( )
A. $\sqrt{5} \mathrm{B} . \sqrt{3} \mathrm{C} .2 \sqrt{3} \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
2.若$x,y,z$是非负实数,且$9 x^{2}+12 y^{2}+5 z^{2}=9$,则函数$u=3 x+6 y+5 z$的最大值为( )
$A.9 B.10 C.14 D.15$
3.若$x, y \in(0,+\infty)$,则$\left(x+\frac{1}{2 y}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2 x}\right)^{2}$的最小值为( )
A. 3 $\mathrm{B} \cdot \frac{7}{2} \mathrm{C.} 4 \mathrm{D} \cdot \frac{9}{4}$
4.函数$y=\log _{a}(x+3)-1(a>0, a \neq 1)$的图象恒过定点A,若点A在直线
$m x+n y+1=0$上,其中$m n>0$,则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为_________.
5.已知a$a>0, b>0, c>0$,且$a+b+c=1$,对于不等式:①$a b c \leqslant \frac{1}{27}$;②$\frac{1}{a b c} \geqslant 27$;③$a b+b c+c a \leqslant \frac{1}{3}$.其中正确的不等式的序号是_________.
